Matematika

Himpunan

Himpunan adalah kumpulan objek yang mempunyai sifat tertentu. Nama himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kapital. Objek – objek yang membentuk himpunan dinamakan elemen atau anggota himpunan. Objek a menjadi anggota himpunan A dapat dinyatakan dengan a ∈ A, sebaliknya b bukan anggota himpunan A dapt dinyatakan dengan b ∉ A. Objek b anggota himpunan di luar anggota A ditulis b ∈ Ac . Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong dan dinotasikan dengan ∅ atau { }. Banyaknya anggota himpunan A yang berhingga dinotasikan dengan n(A).

Himpunan dapat dinyatakan dengan dua cara, yaitu :

1. Mendaftar semua anggotanya di antara dua kurung kurawal.

2. Menuliskan syarat keanggotaannya. Himpunan C beranggotakan objek x yang bersifat P dapat ditulis dengan

C = { x ⃒ P(x) }



Himpunan Bagian

Himpunan S dikatakan himpunan bagian A jika setiap anggota himpunan S juga menjadi anggota himpunan A dan dinotasikan dengan S ⊆ A. Himpunan kosong selalu menjadi himpunan bagian setiap himpunan yang tidak kosong. Semua bagian himpnan A tergabung dalam power set P(A). Banyaknya anggota power set himpunan A adalah 2n(A).

Contoh :

A = { a, b, c } → P(A) = { { }, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} }

Operasi Dua Himpunan

Ada dua buah operasi pada himpunan A dan B. Kedua operasi tersebut adalah operasi gabungan dan operasi iridan.

Operasi Gabungan :

Gabungan himpunan A dan B, ditulis A ∪ B, adalah himpunan yang anggota – anggotanyamerupakan anggota di A atau B.

Operasi Irisan:

Irisan himpunan A dan B, ditulis A ∩ B, adalah himpunan yang anggota – anggotanya berada diA dan B. Dua buah himpunan A dan B dikatakan saling asing jika tidak ada anggota himpunan A yang merupakan anggota B atau sebaliknya.

Gabungan dan irisan dua buah himpunan A dan B dapat di gampbarkan dalam ilustrasi dalam ilustrasi berikut :

Sifat – sifat operasi himpunan adalah sebagi berikut :

1. A ∪ B = B ∪ A dan A ∩ B = B ∩ A

2. ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) dan ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C )

3. ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) dan ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

4. ( A ∪ B )c = Ac ∩ Bc dan ( A ∩ B )c = Ac ∩ Bc

5. n(Ac) = n(S) – n(A)

6. n( A U B ) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B ). Jika A dan B adalah himpunan yang saling asing maka: n(A U B ) = 0 akibatnya: n( A U B ) = n(A) + n(B).